GAMES101 课程笔记

发布于：2026/02/16

数学表示

为了让平移操作能够使用线性变换来表示，点、向量的实际维数在原先的维数上扩展一维，这即为齐次坐标（Homogeneous coordinates）。

以二维举例：

• 一个二维点 $p=(x,y,1)^\top$
• 一个二维向量 $v=(x,y,0)^\top$

假设二维点为 $(x,y,w)^\top$，则其实际的坐标为 $(x/w,y/w)$。

在这个定义上，可以方便地定义三种基本操作，它们被称作仿射变换（Affine transformation）：

• 缩放

  $$\mathbf{S}(s_x,s_y)=\begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

• 旋转

  $$\mathbf{R}(\alpha)=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

• 平移

  $$\mathbf{T}(t_x,t_y)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

三维坐标中，关于 $x,y,z$ 轴旋转还有特别的名词：Roll, Pitch, Yaw。在 Reddit 上一个比较好的助记：

Roll: Put your ear to your shoulder.

Yaw: Shake your head no.

Pitch: Shake your head yes.

变换

Model, View, Projection

• 模型变换（Model Transformation）
  • 将要显示的模型放置好位置
• 视角变换（View/Camera Transformation）
  • 对整个坐标系进行仿射变换，使得摄像机位置处于变换后的原点
  • 从摄像机视角来看，位置没有发生任何变化
  • 一般是摄像机上方对齐 $y$ 轴，前方对齐 $-z$ 轴
  • 先将摄像机放置于原点，再进行旋转。即对于视角变换 $M_\text{view}$，给定平移操作 $T_\text{view}$ 和旋转操作 $R_\text{view}$，有

  $$M_\text{view}=R_\text{view}T_\text{view}$$

• 投影变换（Projection Transformation）
  • 将一定视角内三维坐标投影到有限的规范化区域中
  • 正交投影（Orthographic Projection）
    • 没有远近变化，两条平等的线在投影后仍为平行
    • 将一个 $[l,r]\times[b,t]\times[n,f]$ 大小的长方体规范化到 $[-1,1]^3$ 上
  • 透视投影（Perspective Projection）
    • 近大远小
    • 可以先将梯形体压成长方体，再做正交投影
    • 给定纵深起点、目标宽高 $n,w,h$，对于任何要投影的一点 $(x,y,z)^\top$，可以用相似三角形、矩阵求解、特值代入的方法求出到长方体的变换矩阵 $M_{\text{persp}\rightarrow\text{ortho}}$。

光栅化

• 对原先处于三维空间中的物体进行每个像素的采样
• 用三个叉积的结果，判定像素是否在三角形内部
• 抗锯齿
  • 产生锯齿的根本原因，是采样的频率低于图像本身频率。采样本质是对图像的频率域内容进行复制粘贴，在低频采样后，图像会在频率域上产生混叠，也即发生了锯齿。
  • MSAA（Multisample anti-aliasing）
    • 本质是在一个像素内做取平均卷积操作，即在采样前先去除高频
    • 对一个像素内采样 $n\times n$ 个点，取所有点的平均值作为实际采样值
• 采用 z-buffer 渲染最靠近摄像机的物体

着色

• Bling-Phong 反射模型
  • 镜面反射光（Specular highlights）：给定光源能量 $I$、表面离光源距离 $r$、入射角度 $\mathbf{l}$、表面法线 $\mathbf{n}$、表面反射系数 $k_s$、给定观察方向 $\mathbf{v}$、衰减因子 $p$，首先得半程向量 $\mathbf{h}$ 为

    $$\mathbf{h}= \frac{\mathbf{v}+\mathbf{l}} {\lVert\mathbf{v}+\mathbf{l}\rVert}$$

    可得镜面反射光 $L_s$ 为

    $$L_s=k_s(I/r^2)\max(0,\mathbf{h}\cdot\mathbf{n})^p$$

  • 漫反射光（Diffuse reflection）：给定光源能量 $I$、表面离光源距离 $r$、入射角度 $\mathbf{l}$、表面法线 $\mathbf{n}$、表面反射系数 $k_d$，可得漫反射光 $L_d$ 为

    $$L_d=k_d(I/r^2)\max(0,\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})$$

  • 环境光（Ambient lighting）：给定环境光系数 $k_a$ 与环境光强度 $I_a$，可得环境光 $L_a$ 为

    $$L_a=k_aI_a$$

  • 最终光照 $L=L_s+L_d+L_a$
• 着色频率
  • 平直着色（Flat shading）：每个三角形上所有点共享一个颜色
  • Gouraud 着色：算出三角形三个顶点的颜色，内部点颜色通过插值得到
  • Phong 着色：算出三角形三个顶点的法线，内部点法线通过插值得到，每个采样点的颜色单独计算
• 材质
  • 将一个二维图像贴到三维物体上
  • 每个三角形的顶点映射到二维图像上的一个坐标 $(u,v)$